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数量关系：方阵问题

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一、含义

  将若干人或物依一定条件排成方形（简称方阵）。

  根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

二、实心方阵

当方阵最外层一边人数为 n 时，满足：

  • 1、方阵总数 ＝ 最外层每边人数 n 的平方 (n²)
  • 2、某层总数 ＝ （该层每边个数 – 1）× 4 ＝ 该层每边个数 × 4 – 4
  • 3、方阵层数： 当 n 为偶数时，层数 ＝ n ÷ 2；当 n 为奇数时，层数 ＝ (n + 1) ÷ 2
  • 4、层间差值：相邻两层每边相差 2。相邻两层总数相差 8。
    （特殊情况：当最内层总数为1时，次内层总数为8，此时最里面两层总数相差7）
三、空心方阵

空心方阵可以理解为一个大的实心方阵中间去掉一个小的实心方阵，公式与实心方阵差不多：

  • 1、方阵总数 ＝ （最外层每边数量 – 层数）× 层数 × 4
  • 2、某层总数 ＝ （该层每边个数 – 1）× 4 ＝ 该层每边个数 × 4 – 4
  • 3、层间差值：相邻两层每边相差 2。相邻两层总数相差 8
🔥 拓展：方阵的行列删减

在最外层一边人数为 N 时的方阵中，如果去掉一行一列，就去掉了 2N – 1 个人；如果去掉两行两列，就去掉了 N × 4 – 2 × 2，相当于去掉最外圈。
结论：去掉 m 行、n 列的方阵，则人数减少 ＝ N × (m + n) – m × n。（增加 m 行、n 列人数也是增加这么多）
四、长方阵
  • 1、长方阵总人数 ＝ 长方形面积 ＝ a × b
  • 2、最外层人数 ＝ 2 × (a ＋ b) – 4
  • 3、层间差值：相邻两层边相差 2，相邻两层人数相差 8
五、随笔练习
例1：(2021安徽合肥事业单位)
将某年级若干名学生排成一个方阵学习太极拳，已知方阵由外到内第三层有76人，则该方阵共有学生（ ）人。
A. 484
B. 529
C. 576
D. 625
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根据方阵公式：每层总数 = (该层每边个数 – 1) × 4。
可知由外到内第三层每边的学生数 = (76 ÷ 4) + 1 = 20 人。
由于相邻两层每边数相差 2，因此向外推算两层：次外层每边 22 人，最外层的每边的学生数 = 20 + 2 + 2 = 24 人。
所以该方阵共有学生：24 × 24 = 576 人。故正确答案为C。
例2：(2018新疆)
某部队的全体官兵刚好排成一个方阵，最外层人数是128人，则该部队共有多少名官兵？
A. 529
B. 783
C. 1089
D. 1122
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根据方阵公式：某层总数 = (该层每边个数 – 1) × 4。
根据题意最外层人数是 128 人，即 128 = (方阵最外层每边人数 – 1) × 4。
方阵最外层每边人数 = (128 ÷ 4) + 1 = 33 人。
则 33 排 33 列的方阵总人数 = 33 × 33 = 1089 人。故正确答案为C。
例3：(2019河北事业单位)
用64盆花围成每边两层的空心方阵，若在外再增加一层成为三层空心方阵，需增加多少盆花？
A. 44
B. 48
C. 52
D. 60
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根据方阵的性质，相邻两层花盆的数量差为 8。
两层空心方阵总数为 64，设最里层为 a 盆，最外层为 a + 8 盆。则 a + (a + 8) = 64，解得最里边层花盆数量 a = 28。
此时最外层花盆数量为 28 + 8 = 36 盆。
现在再往外增加一层，新增加的一层数量比 36 盆多 8 盆，即需要 36 + 8 = 44 盆。故正确答案为A。
例4：(2019深圳)
某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方阵，两个方阵分别入场完毕后又合成了一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成了新方阵的最外围。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28人，则新方阵的总人数为( )
A. 100
B. 144
C. 196
D. 256
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已知为长宽相等的方阵问题（实心方阵）。设新方阵最外层每边为 n。
得知鲜花方阵为新方阵最外围，根据公式，则鲜花方阵的总数为 (n – 1) × 4 = 4n – 4。
新方阵内部为彩旗方阵，因为相邻两层每边数相差 2，合成后的彩旗方阵每边数为 n – 2。
则彩旗方阵总数为 (n – 2)² = n² – 4n + 4。
已知彩旗方阵比鲜花方阵多 28 人，列方程：
(n² – 4n + 4) – (4n – 4) = 28
n² – 8n + 8 = 28 → n² – 8n – 20 = 0
解得 n = 10（负数舍去）。
故新方阵的总数 = 10² = 100。选A。
例5：(2015江苏)
参加某运动会的全体运动员在开幕式上恰好排成一个正方形，有两行两列的运动员离场后，运动员人数减少64人，则参加该运动会的运动员人数为（ ）。
A. 225
B. 256
C. 289
D. 324
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设最外行站 N 个人。根据“去掉 m 行、n 列的方阵，人数减少 = N × (m + n) – m × n”结论可得：
m = 2，n = 2。
人数减少 = N × (2 + 2) – 2 × 2 = 64
4N – 4 = 64 → 4N = 68 → N = 17。
参加该运动会的运动员总人数为 17 × 17 = 289 人。故正确答案为C。
例6：(2012广东36%)
有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块，将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共有多少块：
A. 180
B. 196
C. 210
D. 220
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由瓷砖总数为 400 块可知，该正方形边长为 20 块瓷砖 (20 × 20 = 400)。
最外层（第一周，绿色）一圈为：(20 – 1) × 4 ＝ 76 块瓷砖。
根据方阵相邻两层差 8 块瓷砖可知，同色瓷砖（隔一层）之间差 16 块瓷砖。
故绿色瓷砖的数量从外到内依次为：76，60，44，28，12。（等差数列，直到数量不足 16 结束）。
总数为：76 ＋ 60 ＋ 44 ＋ 28 ＋ 12 ＝ 44 × 5 ＝ 220 块。
故正确答案为D。
恪言人 · 更新时间: 2025/11/25