1、长方形

（1）周长：(a＋b) × 2
（2）面积：a × b

2、正方形

（1）周长：4a
（2）面积：S_正方形 = a² = 1/2 × 对角线²

3、三角形

（1）周长：a＋b＋c
（2）面积：S_三角形 = 1/2 × 底 × 高 = 1/2 × ah

4、正三角形

（1）周长：3a
（2）面积：S_正三角形 = (√3 / 4) × a²

5、圆形

（1）周长：2πr
（2）面积：πr²

6、扇形

（1）周长：弧长 = πr × n / 180°
（2）面积：S_扇形 = (n / 360°) × πr² = (l × r) / 2

7、梯形

（1）周长：a＋b＋c＋d
（2）面积：S_梯形 = (上底 + 下底) / 2 × 高

8、平行四边形

（1）周长：2a＋2b
（2）面积：a × h

9、菱形

（1）周长：4a
（2）面积：S_菱形 = (对角线 × 对角线) / 2

【例1：2024北京】

如图所示，平行四边形空地分AB两区域，分别种植龙沙宝石月季和金凤凰月季。已知，龙沙宝石月季的A区面积为35平米，求B区种植金凤凰月季的面积为多少？

【例2：2024天津事业单位】

平面做一个边长为3的正方形，再以这个正方形的对角线为边做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边做第三个正方形，以此类推，第11个正方形的面积为（ ）。

【例3：2025新疆】

为丰富儿童的暑假生活，某公园在半径为 20√2 米的半圆形水池旁修建了一个弯月形儿童戏水池（如下图所示）。该弯月形戏水池可看作是由半径为 20 米的半圆O’和半径为 20√2 米的半圆O的圆弧围成的阴影部分，圆心距OO’为 20 米且OO’垂直于直径AB，那么该戏水池的面积为多少平方米？

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【解析】
方法一：如图所示，根据题意可知半圆O的半径为 R = 20√2 米，半圆O’的半径为 r = 20 米。连接OA、OB，可得 OO’ = O’A = O’B = 20米，又因为 OO’⊥AB，可得 △OO’A 和 △OO’B 均为等腰直角三角形，则 ∠AOB = ∠OO’A + ∠OO’B = 45° + 45° = 90°，故 S_△OAB = 0.5 × OA × OB = 0.5 × 20√2 × 20√2 = 400 平方米，S_半圆O’ = 0.5 × π × r² = 0.5 × 20 × 20 × π = 200π 平方米；根据扇形面积公式：S_扇形 = (n/360°) × π × r²，可得：S_扇形OAB = (90°/360°) × π × R² = 200π 平方米。
综上，所求戏水池面积 S_阴影 = S_半圆O’ – (S_扇形OAB – S_△OAB) = 200π – (200π – 400) = 400 平方米。

方法二（秒杀法）：半径为 20 米的半圆的面积为 S = 0.5 × πr² = 0.5 × 20 × 20 × π = 200π 平方米。
阴影部分弯月形的面积明显小于半径为 20 米的半圆的面积，只有选项A小于 200π，符合题意。选 A 选项。

【例5：2020年四川】

如图所示，在直线L上依次摆放着5个正方形。已知斜放置的2个正方形的面积分别是3和2。正放置的3个正方形的面积依次是S1、S2、S3。问S1+S2+S3的值为？

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【解析】
根据正方形HIJK和正方形BCED的面积分别为2和3，可得 HI=HK=√2，BC=CE=√3，又因为HJ平分IK，故 HG=JM=EF=1，正方形S2与S3的面积为1。
由勾股定理可得，CF=√(CE²−EF²) = √2。由于 ∠BCA=∠CEF，∠ABC=∠FCE，BC=CE，根据“两角及其夹边对应相等的三角形全等”，可得三角形ABC与三角形FCE全等，故 AB=CF=√2，正方形S1的面积为2。
故 S1+S2+S3 = 2+1+1 = 4。
故正确答案为 A 选项。

📐 数学基础 · 考场硬核秒杀

正余弦函数（直角三角形）

💡 排版说明：为您修复了断行问题，并完整补齐了初中/高中必背的特殊角三角函数值表。

📐 一、正余弦与正切定义

（1）正弦 (sin)

对 边

---

斜 边

（2）余弦 (cos)

邻 边

---

斜 边

（3）正切 (tan)

对 边

---

邻 边

📊 二、常用三角函数值表

角度 \ 函数	30°	45°	60°
正弦 (sin)	1 / 2	√2 / 2	√3 / 2
余弦 (cos)	√3 / 2	√2 / 2	1 / 2
正切 (tan)	√3 / 3	1	√3

* 记忆口诀：正弦值 1、2、3 根号下除以 2；余弦值 3、2、1 根号下除以 2。

【例6：2023湖北】

厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的高度，某测量小组选取的测量点A与覆鼎岩底部D在同一水平线上，如下图所示。已知覆鼎岩高CD为24米，在A处测得石像头顶部B的仰角为45°，石像底部C的仰角为31°（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6），则石像BC的高度约为：

【例7：2018国考】

一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向左转 30°后，立即以 15 节 (1 节 =1 海里 / 小时 ) 的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多少节 ?

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【解析】
根据题意可知，非法渔船在 A 点被追上。由于非法渔船的逃跑距离和发现执法船时其与执法船的距离相同，假设距离为 a，即 OA=OB=a； 渔船左转 30°， 即 ∠AOB=120°。
又因为△AOB为等腰三角形，故 ∠OBA= ∠OAB=30°。过点 O 作 OC 垂直 AB 于点 C，根据△OCB 为直角三角形，且∠OBA=30°可得 CB = 1/2 AB = (√3 / 2)OB = (√3 / 2)a，因此 AB = 2 × CB = 2 × (√3 / 2)a = √3 a。
渔船从 O 到 A，执法船从 B 到 A，行驶时间相同，假设执法船速度为 v 节，则有 a / 15 = (√3 a) / v，解得 v = 15√3。
故正确答案为 D 选项。

【例8：2023吉林 (山脊模型)】

为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF是中央工厂区，已知BD：DE：EC=1：2：3，F为AE的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：

📐 数学基础 · 核心考点

三角形的全等与相似

✨ 三角形的全等

（1）概念：两个图形的形状和大小都一样时，称为两个图形全等。

（2）全等证明：
三条边都相等、两边及其夹角都相等、两角及其夹边都相等、两角及其中一角的对边都相等。

（3）解题线索：当条件中出现“折叠、对称、旋转、平移”找全等。

🔍 8、三角形相似

（1）相似证明：角角相似、边角边相似、边边边相似。

（2）相似性质：

• ①若两三角形相似，则这两个三角形的对应角相等，对应边成比例。其中，两相似三角形中任意一组对应边的比例称为这两个相似三角形的相似比。
• ②若两三角形相似，则这两个三角形的对应边上的高成比例且其比例等于相似比。

（3）相似应用：
条件中出现“平行线或三角形中两个角相等”找相似。

（4）核心比例关系：
两个图形相似时，长度之比为 a：b 时，面积之比为 a²：b²，体积之比为 a³：b³

（5）相似三角形模型：

① 8字模型：
AB平行DC，则△AOB∽△DOC。OA/OD = BO/OC = AB/CD

② 反8字模型：
∠A=∠C或∠B=∠D，则△AOB∽△DOC。AO/CO = BO/OD = AB/DC

③ A字模型：
EF平行BC，则△AEF∽△ABC。AE/AB = AF/AC = EF/BC

④ 反A字模型：
∠AFE=∠ABC或∠AEF=∠ACB，则△AEF∽△ABC。AE/AC = AF/AB = EF/BC

⑤ 一线三等角：
两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称”一线三等角”。∠ABC=∠ACE=∠EDC，则△ABC∽△CED。AB/CD = BC/DE = AC/CE

【例9：2020新疆】

某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问，需要用多少块砖？

【例10：2017河南】

一块三角形农田ABC（如下图所示）被DE、EF两条道路分成三块。已知BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF，则三角形ADE、三角形CEF和四边形BDEF的面积之比为：

【例11：2024江苏】

如图所示，ABCDEF是一个边长为2的正六边形，圆O是△ACE的内切圆，则圆O的面积是（ ）。

【例12：2020重庆选调】

工厂有一种测量中控工件内径的方法，就是用半径为R的钢珠放在圆柱形内孔上，只要测得钢珠顶端与工件顶端面之间的距离X，就可以求出工件内孔径（如下图所示）。已知X=5cm，R=3cm，那么该工件内径的直径是（ ）。

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【解析】
方法一：如图所示，连接钢珠与圆柱内径的交点A、B，连接钢珠的圆心O与点B，连接钢珠的最高点C与圆心O，并延长交AB于点D，则三角形ODB为直角三角形。OC、OB为钢珠的半径，OC=OB= 3cm，OD=5-3=2cm。根据勾股定理得 BD² = OB² – OD² = 3² – 2² = 5cm，BD = √5 cm，则AB的长度为 2√5 cm。
方法二：ABC是一个三角形，高等于5，AC=BC。要求AB的距离，圆为△ABC的外接圆，圆的半径为3，三角形外接圆半径 r = 3 = abc / 4S = (AC×BC×AB) / (4×0.5×AB×CD)，得 BC² = 30，根据勾股定理 BD² = BC² – CD² = 30 – 5² = 5，BD = √5 cm，则AB的长度为 2√5 cm。
选 A 选项。

🦋 蝴蝶模型

蝶形定理为解决不规则四边形的面积问题提供途径，可使面积与对角线比例相联系。

• 1、任意四边形中：
  S1/S2 = S4/S3 = OD/OB，即 S1 × S3 = S2 × S4。
• 2、梯形的蝶形定理：
  若设上底为 a，下底为 b。统一比例后得到：S1 : S2 : S3 : S4 = a² : ab : b² : ab

【例13：2021广东选调】

如图三角形中，A、B分别为两条边的中点，则图中阴影部分面积为三角形总面积的（ ）。

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【解析】
做链接AB两点线段，可得ABDF为梯形，可以使用蝴蝶定理，如上图所示。
设AB长度为1，因为A、B分别为两条边的中点，所以DF为2。
根据梯形蝴蝶定理面积比：S1：S2：S3：S4＝a²：ab：b²：ab，则 S_△ABO：S_△AOF：S_△DFO：S_△DOB = 1²：2：2²：2 = 1：2：4：2。
故梯形ABDF面积为 1+2+4+2=9。
因为AB为S_△BCF的中线，则顶部小三角 S_△ABC = S_△ABO + S_△AFO = 1+2=3。
阴影面积为左右两翼 S_△AOF + S_△DOB = 2+2=4。
面积总和为：三角形ABC+梯形ABDF = 3+9=12。
占比 = 4 ÷ 12 = 1/3。选 A 选项。

📐 数学基础 · 立体图形

五、立体图形公式

💡 包含：表面积、体积、体对角线及特殊挖除模型

1、长方体

（1）表面积： (ab ＋ ac ＋ bc) × 2

（2）体积： V = abc

（3）棱长和： (a ＋ b ＋ c) × 4

（4）体对角线： d = √(a² + b² + c²)

2、正方体

（1）表面积： 6a²

（2）体积： V = a³

（3）体对角线： d = √3a

（4）棱长和： l = 12a

【挖除模型常考点】
1. 正方体角上挖一个小正方体：表面积不变。
2. 正方体边上挖一个小正方体：只增加 2 个面的表面积。
3. 正方体中间挖一个正方体、圆柱等：总体新增抠挖的侧面积。

3、圆柱体

（1）表面积： 上底面积 ＋ 下底面积 ＋ 侧面积 = 2πr² + 2πrh

（2）体积： V = 底面积 × 高 = πr²h

（3）体对角线： d = √(4r² + h²)

4、圆锥体

（1）表面积： 底面积 ＋ 侧面积 = πr² + πrl
* l 为圆锥的母线长，即围成此圆锥所用扇形的半径

（2）体积： V = (底面积 × 高) / 3 = (S × h) / 3 = 1/3 πr²h

5、球体

（1）表面积： 4πr²

（2）体积： V = (4πr³) / 3

6、棱锥

（1）表面积： 侧面积 + 底面积

（2）体积： V = (S × h) / 3

7、圆台

（1）表面积： 侧面积 + 上、下面积 = π(R + r)l + π(R² + r²)
* 根据勾股定理：l = √((R – r)² + h²)

（2）体积： V = 1/3 πh (r² + Rr + R²)

【例14：2015国考】

某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为 1 米和 2 米，问需要粉刷的面积为：（ ）

【例15：2015江苏】

一实心圆锥体的底面半径为r，母线长为2r。若截圆锥体得到两个同样的锥体（如图），则所得两个锥体的表面积之和与原圆锥体表面积的比值是

【例16：2025上海】

某公司研发一款饮料瓶，一开始瓶身为圆柱，高h=10cm，底面半径r=5cm。为了更为美观，则以上底面为球的大圆做一个半球，轴截面如图所示。则瓶子的体积约为（ ）cm³。（精确到1cm³）

【例17：2024江苏】

某品牌奶茶所用纸杯均为圆台型。已知M型纸杯的上、下口直径分别为70毫米、50毫米，高为80毫米；N型纸杯的上、下口直径分别为60毫米、45毫米，高为60毫米。则M型纸杯与N型纸杯的侧面积之比为（ ）。

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【解析】
本题考查求圆台的侧面积，圆台侧面积 = π × (R+r) × l。其中r和R分别为上、下底面的半径，l为侧面母线长。
M型纸杯：r = 50÷2 = 25毫米，R = 70÷2 = 35毫米，则 l = √((35-25)² + 80²) = √6500 = 10√65
N型纸杯：r = 22.5毫米，R = 30毫米，则 l = √((30-22.5)² + 60²) = √3656.25 = 7.5√65
故所求比例为：[π × (25+35) × 10√65] ：[π × (22.5+30) × 7.5√65] = 600 ：393.75 = 32：21
故正确答案为 B 选项。

【例18：2018联考】

某甜品店出售一种规则球形的甜品，该甜品由内部中空的球形面皮（每立方厘米成本0.4元），和实心的芝士球（每立方厘米成本1元）组成，无论甜品大小规格如何，其中的芝士球半径始终为甜品半径的四分之三，已知制作半径为1厘米的该甜品成本约为2.73元，那么要制作半径为2厘米的该甜品，成本约为：

【例19：2025江苏】

某地考古出土了一种呈长方体的青铜器，测得其长、宽、高分别为60cm、40cm、60cm。为了防止氧化，有关部门为其做个半球形的保护罩，则该保护罩（厚度忽略不计）的表面积至少为（ ）。

🏃 几何进阶 · 必考模型

七、最短路径

💡 包含：识别特征、核心原理、异同侧方法及立体展开

1、识别：
求AB两点到直线距离之和最短

2、原理：
两点之间，线段最短

🛠️ 3、方法

（1）两点为异侧：
直接连线

（2）两点为同侧：
到直线的最短，镜面对称后连线。

📦 4、立体中求最短路径

一般通过展开变成一个平面，利用两点之间线段最短来求解；

【例20：2017湖南】

如下图所示，某条河流一侧有A、B两家工厂，与河岸的距离分别为4km和5km，且A与B的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接A、B两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：

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【解析】
本题考查最短路径。如上图所示，过污水处理厂做河岸的平行线HC，D为A关于HC的对称点，则最短距离为DB。
由题污水厂离河1km可得A点距离到HC为 HA＝HD＝3km，B点距离HC等于 5-1＝4＝EH，则 DE＝HD+EH＝3+4＝7km。
由勾股定理可知 BE² = AB² – AE² = 11² – 1² = 120，所以 DB² = BE² + DE² = 7² + 120 = 169，所以 DB=13km。
选 B 选项。

【例21：2019河北】

长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体 ABCD−A1B1C1D1 上，有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到获取食物，其路程最小值是多少cm？

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【解析】
由题干蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到 C1 求 AC1 最短，画图可知，在长方体中A和C1不在同一平面，要求最短距离先要把A和C1放在同一平面内，则把面翻折 CDC1D1，形成面 ABC1D1，再连接AC1，根据两点之间直线最短求解。如上图：
根据勾股定理，则所求 AC1 最短 = √(12² + (4+3)²) = √193。
故正确答案为 B 选项。

【例22：2019新疆】

某健身馆准备将一块周长为100米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160米的长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场地面积之差为多少平方米？（ ）