👑 数量关系核心拿分点

数量关系：经济利润问题

公式赋值 · 统筹极值 · 分段计费

📏 一、公式型问题

基本公式

1、总价 = 单价 × 数量
2、利润 = 售价(收入) – 进价(成本)
3、利润率 = 利润 ÷ 成本 = (售价 – 成本) ÷ 成本 = 售价 ÷ 成本 – 1
4、总利润 = 单个利润 × 数量 = 总售价 – 总成本
5、售价 = 成本 + 利润 = 成本 × (1 + 利润率)
6、折扣 = 折后价 ÷ 折前价

注意：
① 售价≠定价，售价是最终出售的价格，售价可以变，而定价是商品最初的标价。
② 毛利、纯利、净利等都指的是利润。

📈 小扩展

成本或进价相当于基期，售价相当于现期，利润相当于增长量，利润率相当于增长率。题目涉及连续涨价(跌价)，可考虑采用增长率公式解题。

关于 A = B ÷ C，运用“比值增长率” a = (b – c) / (1 + c)
关于 A = B × C，运用“乘积增长率” a = b + c + b × c

🔥 做题技巧

1、当题中没有出现具体的数值的时候，用赋值法求解。价格、数量尽量设成10或者100，如果有百分数出现就设成100，不要设的太小，不好计算。
2、无法赋值的时候，就设未知数，列方程，找等量关系。当关系比较乱、量多可以列表。

⚖️ 二、统筹规划问题

1、题型判断：题目中随着售价的高低起伏，引起销量的降升变化，问总收入或者总利润在什么情况下可以最大化。公式一般涉及总利润 = 单利 × 数量。

2、解题方法：设未知数，可列出一元二次方程进行求解。一般列出的方程都是两点式，即 y = (a – x)(b + x)，求出使方程等于0，解得 x1、x2，求出两个 x 的平均值 x = (x1 + x2) ÷ 2 时，此时 y 是最值。

⏱️ 三、分段计费问题

1、识别：计费规则达到分段点后变为不同费用。主要涉及水电、出租车费、资费、提成等问题。

2、例子：A城市的出租车两公里以内的起步价为10元，超过两公里的价格为2.5元/公里。可以发现，2公里以内和2公里以外的价格是不同，此时，2公里就是一个价格的分界点。在分段计费类的题目中常考的有三种形式：
（1）已知用量，求费用：例如小明打车行驶了5公里，求小明应付多少钱?
（2）已知费用，求用量：小明打车后付了20元，求小明行驶了多少公里?
（3）已知用量和费用，求分界点：A城市的出租车两公里以内的起步价为10元，超过两公里的价格为未知。小明行驶10公里，付款28元，小李行驶8公里付款23元，求超过两公里的每公里的价格是?

3、解题技巧：找分段点，分段计算，汇总求和。当需要设未知数时，不要设总为x，设最后一段为x更容易求解。

⚔️ 四、随笔练习 (一)

【例1：(2018江西)】

小李四年前投资的一套商品房价格上涨了 50%，由于担心房价下跌，将该商品房按市价的 9 折出售，扣除成交价 5% 的相关交易费用后，比买进时赚了 56.5 万元。那么，小李买进该商品房时花了多少万元 ?（）

A. 200

B. 250

C. 300

D. 350

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设买进该商品房时成本为 x 万元，则现在定价为 1.5x 万元，实际售价为 1.5x × 0.9 = 1.35x 万元。
利润(售价-成本)：(1 – 5%) × 1.35x – x = 56.5，解得 x = 200。
故正确答案为 A 选项。

【例2：(2023吉林)】

某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70元，如果按定价打九五折出售可获得利润100元，这款小家电进货价格所在区间是：

A. 400-450元

B. 450-500元

C. 500-550元

D. 550-600元

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设定价为 y，进价为 x。
由题意列方程组：
0.9y – x = 70
0.95y – x = 100
两式相减得：0.05y = 30，解得定价 y = 600 元。
代入第一个方程：0.9 × 600 – x = 70，解得 x = 470 元。
470 元在 450-500 元之间。故正确答案为 B 选项。

【例3：(2023江西)】

某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，此时利润率是多少？

A. 40%

B. 30%

C. 60%

D. 50%

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三量关系只知其一，使用赋值法，赋值该商品的进货价为100元，则商品的售价 = 100 × (1+20%) = 120元。
进货价降低20%后为 100 × (1-20%) = 80元，
根据公式：利润率 = (售价-进价)/进价，可得题干所求 = (120-80)/80 = 50%。
故正确答案为 D 选项。

【例4：(2019深圳)】

某类商品按质量分为8个档次，最低档次商品每件可获利8元，每提高一个档次，则每件商品的利润增加2元。最低档次商品每天可产出60件，每提高一个档次，则日产量减少5件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（）元。

A. 620

B. 630

C. 640

D. 650

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设产品提高了 x 个档次，每日获得总利润为 y，则每件的利润为 (8 + 2x) 元，每日售出的数量为 (60 – 5x)，那么每天获得的利润 y = (8 + 2x)(60 – 5x)。
当 y = 0 时，x1 = -4 或 x2 = 12，若让每天获得的利润最大，此时应取 x1 与 x2 的平均值，此时 x = (-4 + 12) ÷ 2 = 4。
最大利润 = (8 + 2 × 4) × (60 – 5 × 4) = 16 × 40 = 640 元。
故正确答案为 C 选项。

【例5：(2020江苏)】

某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是

A. 5元

B. 6元

C. 7元

D. 8元

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设降价 x 元，已知“销售单价每降低1元，每天可多售出20件”，调价后销售单价为 (100-x) 元，进货单价为 80 元，则降价后单个利润为 (100-x-80) = 20-x 元；
降价后的销量为 (120+20x) 件。
总利润 = 单个利润 × 数量 = (20-x) × (120+20x)。
令总利润为 0，即令 (20-x) 和 (120+20x) 都等于 0，解得 x1=20，x2=-6。
当 x = (20-6)/2 = 7 时，总利润最大，即销售单价应降低的金额是 7 元，对应 C 项。
故正确答案为 C 选项。

⚔️ 四、随笔练习 (二)

【例6：(2018国考)】

枣园每年产枣 2500 公斤，每公斤固定盈利 18 元。为了提高土地利用率，现决定明年在枣树下种植紫薯 ( 产量最大为 10000 公斤 )，每公斤固定盈利 3 元。当紫薯产量大于 400 公斤时，其产量每增加 n 公斤将导致枣的产量下降 0.2n 公斤。问该枣园明年最多可能盈利多少元 ?（）

A. 46176

B. 46200

C. 46260

D. 46380

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【解析】
当紫薯产量大于 400 公斤时，每增加 n 公斤将导致枣的产量下降 0.2n 公斤。
假设紫薯的产量为 (400+n) 公斤，则此时枣的产量为 (2500-0.2n) 公斤。
则总盈利为 18 × (2500-0.2n) + 3 × (400+n) = (46200-0.6n) 元。
要让总盈利 46200-0.6n 最大，因为 n 必须大于等于 0，则 n 取 0，此时总盈利为 46200 元。
故正确答案为 B 选项。

【例7：(2024山东)】

某线上店铺将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。该店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价每提高1元，每天销售量就要减少10件，为保证每天至少获利350元，问该商品售价应为多少？

A. 不到13元

B. 13~15元之间

C. 15~17元之间

D. 17元以上

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【解析】总利润 = 单利 × 数量。
方法一：选项范围各不相同，可分别选取各选项范围内的特定数字代入验证。
代入A项：假设售价为12元，即售价提高 12-10=2 元，则每天获利为 (12-8) × (100-10×2) = 320元 < 350元，排除；
代入B项：假设售价为14元，即售价提高 14-10=4 元，则每天获利为 (14-8) × (100-10×4) = 360元 > 350元，满足条件，B项当选，无需再验证C、D两项。

方法二：根据题意，每天获利最高时是一定满足大于等于350元的情况，又因为选项范围各不相同，因此可验证每天获利最高时的售价。
设该商品售价提高了 x 元，每天获利为 y 元。根据题意，可列方程：y = (10-8+x)(100-10x)，令 y=0，解得 x1=-2，x2=10。
当 (-2+10) ÷ 2=4 时，每天获利 y 最大为 (2+4) × (100-10×4) = 360 > 350，满足条件。
此时商品售价为 10+4=14 元，在B项范围内。

方法三：设该商品售价提高了 x 元，为保证每天至少获利350元，根据题意，可列方程：
(10-8+x)(100-10x) ≥ 350，化简可得 (x-3)(x-5) ≤ 0。
则当 3 ≤ x ≤ 5 时满足题干要求，即该商品售价应在 10+3=13 元和 10+5=15 元之间。
故正确答案为 B 选项。

【例8：(2016河南)】

某商品的单位利润和进货量的大小相关，进货总额低于5万元时利润率为5%，低于或等于10万元时，高于5万元的部分利润率在10%，高于10万元时，高于10万元的部分利润在15%，问当进货量在20万元时,一共有多少万元的利润?

A. 1.75

B. 2.25

C. 3.15

D. 4.05

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【解析】
本题为分段计费问题，解决分段计费问题的关键在抓住分段点，再分别计算。
根据题意可将进货量在20万元时的利润分为三个部分依次计算:
“进货总额低于5万元时利润率为5%”，可得利润 = 5 × 5% = 0.25万元;
“低于或等于10万元时，高于5万元的部分利润率在10%”，可得利润 = 5 × 10% = 0.5万元;
“高于10万元时，高于10万元的部分利润在15%”，可得利润 = 10 × 15% = 1.5万元。
最后求和：0.25 + 0.5 + 1.5 = 2.25万元。
故正确答案为 B 选项。

【例9：(2020国家)】

某个项目由甲、乙两人共同投资，约定总利润10万元以内的部分甲得80%，10万元～20万元的部分甲得60%，20万元以上的部分乙得60%。最终乙分得的利润是甲的1.2倍。问如果总利润减半，甲分得的利润比乙：

A. 少1万元

B. 多1万元

C. 少2万元

D. 多2万元

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【解析】
分段计费问题。
设20万元以上的部分总利润为 x 元，此时乙获得 0.6x，甲获得 0.4x。
甲获取的总利润为：10 × 80% + 10 × 60% + 0.4x = 14 + 0.4x
乙获取的总利润为：10 × 20% + 10 × 40% + 0.6x = 6 + 0.6x
最终乙分得的利润是甲的1.2倍。可得：6 + 0.6x = 1.2 × (14 + 0.4x)，解得 x = 90。
总利润 = 90 + 10 + 10 = 110 万元。
如果总利润减半，则总利润变为 55 万元，此时分配情况如下：
甲获得利润 = 10 × 80% + 10 × 60% + 40% × (55-20) = 8 + 6 + 14 = 28 万元。
乙获得利润 = 55 – 28 = 27 万元。
甲分得的利润比乙多 1 万元。
故正确答案为 B 选项。

【例10：(2019浙江台州事业单位)】

一款礼品，因重新进行了包装设计，每件礼品的成本较上个月增加了10%，导致单件礼品的利润下降20%，但销售却猛增，结果本月总利润比上个月增加36%，则本月销售量较上个月增加了多少？（）

A. 16%

B. 35%

C. 50%

D. 70%

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【解析】
方法一：赋值法。
赋上月单件礼品的利润为 10，则本月的单利为 10 × (1-20%) = 8。
设上月销售量为 a，本月销售量为 x，根据公式：总利润 = 单利 × 总销量。
则：10a × (1+36%) = 8x，解得 13.6a = 8x → x = 1.7a。
故本月销售量较上月增加了 (x-a)/a = (1.7a-a)/a = 70%。

方法二：增长率法。
总利润 = 单利 × 总销量。求总销量的增长率。此时“成本增加10%”是干扰项。
总销量 = 总利润 ÷ 单利。根据比值增长率公式 a = (b-c) ÷ (1+c)
代入：总销量的增长率 = (36% – (-20%)) ÷ (1 – 20%) = 56% ÷ 0.8 = 70%。
故正确答案为 D 选项。

✨ 恪言人 · 更新时间: 2025/12/23 ✨