数量关系：计算问题
等差数列 · 周期循环 · 植树与钟表
💡 考点前瞻：
除了等差数列、周期循环，其他题型内容考频比较低，但作为各类计算题的基础模型，仍需熟练掌握。
1、定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。首项用 a₁ 表示，公差用 d 表示，前 n 项和用 Sn 表示。
2、通项公式：an = a₁ + (n − 1)d
3、性质：
- （1）an = am ＋ (n − m)d
- （2）an − am = (n − m)d
- （3）若 m + n = p + q，则：am + an = ap + aq
- （4）整体平均数等于首尾两项的算术平均数：平均数 = (a₁ + an) ÷ 2
① 若项数 n 为奇数：平均数恰好是中间项。例如：3,5,7,9,11，平均数=(3+11)÷2=7 (第三项)。
② 若项数 n 为偶数：平均数恰好是中间两项的算术平均数。例如：3,5,7,9，平均数=(3+9)÷2=6。
（1）Sn = (a₁ + an) × n ÷ 2 = a₁×n + n(n-1)d ÷ 2
（2）Sn = 中间项 × n (n为奇数时) = 中间两项和 × (n÷2) (n为偶数时) = 平均数 × n
某剧院共 25 排座位，后一排均比前一排多 2 个座位，已知最后一排有 80 个座位，问这个剧院一共有多少个座位？
某一楼一户住宅楼共17层，电梯费分摊规则：第一层不交纳；第三层及以上，每层比下一层多交10元。若一季度电梯费共计1904元，则第7层住户应交纳：
已知某家族4位成员的年龄总和为142岁，且年龄恰好成等差数列，若其中一位年龄为47岁，则最年长者的年龄为：
工厂第一天生产x件，每周7天，每天比前一天多生产200件。已知第三周产量是第一周的2倍，问第几天产量第一次达到1万件？
1、周期余数：
- （1）题型识别：出现循环或周期，问第/过 N 天是星期几。
- （2）解题：①找周期；②算余数（总数÷周期=圈数…余数）；③做等价（第 N 项等价于该周期的第 n 项）。
- 注：过 N 天 ＝ 第 (N＋1) 天。
引例2：1月1日是周一，过16天是周几？ → 过16天即第17天，17÷7=2周…余3，为周三。
2、周期相遇：
- （1）识别：多个小周期，求再次相遇。
- （2）解题：找多个小周期的最小公倍数。注：每隔 N 天 ＝ 每 (N＋1) 天。
- 引例：小刘每2天去，小凯每3天去，8月1日同去。下次同去是？ → 最小公倍数为6，8月1日过6天即8月7日。
3、星期日期推断：
- 常用结论：①每连续 7 天，必有周一到周日各 1 天。②每连续 28 天，必有周一到周日各 4 天。
- 解题思路：求前取后，求后取前。抛除完整的 28 天再分析剩余天数。
书架上 136 本书，按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书”的顺序循环排列。问最右边的一本是什么书？
甲部门每隔两天、乙部门每隔3天发布消息。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？
某年 8 月份有 22 个工作日，那么当年的 8月1日 可能是：
1、钟面问题：
研究时针和分针的夹角，可以看作圆形轨道上的追及相遇问题。
分针速度：每分钟 6 度。 时针速度：每分钟 0.5 度。
核心公式：分钟数 = 角度差 ÷ 速度差 (5.5度/分钟)
2、坏钟问题：
（1）第一种考法：问坏钟经过多久会重新走对？找出坏钟与标准时间的倍比关系（若两个钟求最小公倍数）。
（2）第二种考法：求实际时间？本质是比例问题。
核心公式：快慢钟经过的时间 ÷ 标准钟经过的时间 = 坏表速度 ÷ 60
张爷爷早晨5点多外出，时针分针夹角是 110度，不到6点进门时，夹角还是 110度。张爷爷外出时间是多少分钟？
小张手表每天快 30分钟，小李每天慢 20分钟，某天中午 12点同时调准，再次同时显示标准时间最少需几天？
时钟每小时慢 4分钟。早上 6:00对准，当日晚上该时钟指向 8:00时，标准时间是多少？
- 1、基本公式：平均数 = 总数 ÷ 总份数。
- 2、加权平均数：可用十字交叉法速算权重比。
- 3、动态变化问题：当数据增减导致平均数变化，被操作数据 = 原总和 – 新总和。
应聘者只有 1/4 被录取。录取者平均分比录取线高 6分，未录取者平均分比录取线低 10分，所有人的平均分是 73分。问录取分数线是多少？
七位考官评分，去掉一个最高和一个最低平均7分；只去掉最高平均6.75分；只去掉最低平均7.25分。最高分与最低分差值？
1、开放空间植树公式：
- （1）两端植树：树的棵数 = 段数 + 1 = (总长 ÷ 间距) + 1
- （2）环形/一端植树：树的棵数 = 段数 = (总长 ÷ 间距)
- （3）楼间/两端都不植树：树的棵数 = 段数 – 1 = (总长 ÷ 间距) – 1
2、不移动植树问题（间距改变）：
- （1）给总长、间距：不移动段数 = 总长 ÷ 两次间距的最小公倍数。
- （2）未给总长给棵数推段数：不移动段数 = 两次段数的最大公约数。
一侧每隔 3米种杉树，另一侧每隔 4米种松树，两侧均两端种植，共 702棵，求道路长度？
公路一侧每隔 3米植树，挖了 49个坑。现改每隔 4米植树，不重新挖的坑共有几个？
周长 40米圆形花坛，原每隔 1米挖洞，现改每隔 0.8米挖洞。至少需再挖几个？
- 1、砝码称重：用已有砝码加取得到相应的重量时，该重量可作为新“砝码”使用。
- 2、小球称重：使用 n 次天平最多可以称重 3ⁿ 枚硬币。
2次测9枚，3次测27枚，4次测81枚。若有58枚硬币，至少需 4次。
天平只有 5克 和 30克 砝码。把 300克味精平分 3份，至少称几次?
小孟有58枚硬币，其中1枚偏轻。只有一个天平，至少称几次一定能找出假币？
核心思路：等价交换。
如 7个空瓶换 1水（不算瓶子），即 7空瓶 = 1空瓶 + 1水，得出 6空瓶 = 1水。
6个空瓶换1瓶啤酒，买109瓶，最多喝掉多少瓶？
7个空瓶换1瓶啤酒。共喝掉347瓶，最少用钱买多少瓶？
边长为 a 的大正方体外表涂色后切成 a³ 个边长为1的小正方体：
- （1）涂 1 个面（面上）：6 × (a – 2)² 个。
- （2）涂 2 个面（棱上）：12 × (a – 2) 个。
- （3）涂 3 个面（顶点）：固定 8 个。
- （4）未涂色（内部）：(a – 2)³ 个。
边长为8的正立方体表面涂黄色，切成边长为1的小立方体，涂上黄色的小立方体共有多少个？
将一个立方体的表面涂黑，用刀片平行于立方体各面，将其切割成若干个棱长为1的小立方体，如果只有一个面涂黑的小立方体的个数与没有一个面涂黑的小立方体的个数相等。那么原立方体的棱长为多少？
- 1、淘汰赛：谁输谁回家。队伍数为奇数时需轮空躺赢。决出冠军总场次：n 支队伍安排 n – 1 场。
- 2、循环赛：
（1）单循环赛（互打1次）：总场次 = N × (N – 1) ÷ 2。
（2）双循环赛（主客场）：总场次 = N × (N – 1)。
某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛一共会出现（ ）次轮空的情况。
5支队单循环，胜得3分，负0分，平各1分。总得分25分，冠军得12分，亚军得？
甲乙丙丁分别比了4、3、2、1场（单循环），问已经进行了多少场？
过河跳井问题均围绕“净效率”展开计算，若结果不是整数，必须向上取整。
- 1、过河问题：M人过河，船载N人，需A人划船。每次实际运送(N-A)人。
次数 = (M – A) ÷ (N – A)。往返次数 = 次数 × 2 – 1（最后一次过河无需返程）。 - 2、爬井问题：井深m，日爬n，夜滑a。
次数 = (m – a) ÷ (n – a)
爬20阶楼梯，每次上5阶又下3阶，几次能跑到顶部？
42人过河，小船最多载5人(需1人划)，往返一次6分。9:00开始，9:20时至少有几人还在等待？
多个主体一起过河，每次两两过河且需1人返回当传递者。要求总花费时间最少。
解题技巧：最快的一起过，最慢的一起过；最快的充当传递者！
🔥 极速秒杀公式（过河时间按由少到多排序 A, B, C, D…）
四牛：取 1×A＋3×B＋0×C＋1×D 和 2×A＋1×B＋1×C＋1×D 中的较小值。
五牛：取 2×A＋3×B＋1×C＋0×D＋1×E 和 3×A＋1×B＋1×C＋1×D＋1×E 中的较小值。
骑牛过河，甲1分，乙2分，丙5分，丁6分。全部过河至少需几分？
毛毛骑在牛背上过河，他共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要20分钟，乙过河要30分钟，丙过河要40分钟，丁过河要50分钟。毛毛每次只能赶2头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟：
某天夜晚发生了地震，小区大面积停电，为了保证安全，所有住户需要迅速转移到楼下;而楼梯已经遭到破坏，一次只能允许2人通过，且需要携带手电照明;某户人家只有一个手电筒可以用，每次下楼的人还要有一人在送回来，已知爸爸下楼需要3分钟，妈妈下楼需要5分钟，奶奶下楼需要7分钟，爷爷下楼需要8分钟，小明下楼只要2分钟，问这家人下楼最少用多少时间?