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👑 数量关系经典模型

数量关系：牛吃草问题

消长问题 · 追及模型 · 核心公式秒杀

🔍 一、基本概念与本质

牛吃草问题又称为“消长问题”。典型特征是：草场原有一部分草，草每天还在匀速生长，牛在吃草的同时，草量也在不断变化。
本质理解：牛吃草可以看作是一个“追及问题”。牛在后方消耗草，草在前方不断生长。牛消耗草的速度减去草生长的速度，才是原有草量真正的“纯消耗速度”。

📏 二、核心公式与变式考法

Y = (N – x) × T

  • Y（原有存量）：如原有草量、开门前排队人数、原有库存储量。
  • N（消耗变量）：如牛的头数、抽水机台数、检票窗口数量。
  • x（自然生长速度）：如草每天长多少、每分钟新增排队人数。
  • T（消耗时间）：吃完/抽干/检完所用的时间。

💡 黄金技巧：默认设定每头牛（或每个窗口）单位时间内的效率为“1”。

经典推演：以“10头牛吃22天，16头牛吃10天”为例

  1. 求原草量与生长速度：列方程组 Y = (10-x)×22 和 Y = (16-x)×10，解得 x=5，Y=110。
  2. 求可持续发展（最多养几头牛）：若要草永远吃不完，消耗速度不能超过生长速度。因为 x=5，所以最多只能放 5 头牛。
  3. 变式扩展（正向相遇）：如果是“抽水机抽水，同时水管往里注水”，则是 Y = (N – x) × T；但如果是“手工研磨，同时机器也在研磨”，两者是合作关系，公式变为 Y = (N + x) × T。一定要分清谁是消耗者，谁是同盟。
⚔️ 三、随笔练习
【例1：牛羊混合 (2023 广东)】

20头牛吃20天；10头牛+10只羊吃30天。牛吃草量是羊的2倍。问30只羊吃多少天？

A. 20
B. 25
C. 30
D. 40
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【常规解法（统一效率）】
设羊的效率为 1，则牛的效率为 2。设原草量为 Y，生长速度为 x。
① Y = (2 × 20 – x) × 20
② Y = (2 × 10 + 1 × 10 – x) × 30
解方程组：800 – 20x = 900 – 30x → x = 10, Y = 600。
求 30 只羊吃的时间 t：600 = (30 × 1 – 10) × t → 600 = 20t → t = 30天。

【神级秒杀法】
因为牛的效率是羊的 2 倍，所以“10头牛 + 10只羊”可以等价替换为：(10 × 2只羊) + 10只羊 = 30只羊。
题目恰好问“30只羊吃多少天”，而题干已经说“10头牛+10只羊吃30天”，所以直接得出答案就是 30 天！选 C 选项。

【例2：标准牛吃草 (2019 联考)】

一片牧场，草每天匀速生长。如果放 27 头牛，6 天可以把草吃完；如果放 23 头牛，9 天可以把草吃完。如果放 21 头牛，几天可以把草吃完？

A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
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【解析】
直接套用核心公式 Y = (N – x) × T：
① Y = (27 – x) × 6
② Y = (23 – x) × 9
联立解得：162 – 6x = 207 – 9x → 3x = 45 → x = 15，Y = 72。
求 21 头牛吃完的时间 T：
72 = (21 – 15) × T → 72 = 6T → T = 12 天。选 C 选项。
【例3：极值可持续发展 (2018 浙江)】

一片牧场，草每天匀速生长。如果放 20 只羊，15 天吃完；如果放 14 只羊，30 天吃完。为了让草永远吃不完，这片牧场最多只能放多少只羊？

A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
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【解析】
核心公式：Y = (N – x) × T
① Y = (20 – x) × 15
② Y = (14 – x) × 30
联立解得：300 – 15x = 420 – 30x → 15x = 120 → x = 8。
“永远吃不完”意味着羊吃草的速度绝不能大于草生长的速度，即 N ≤ x。
因为草每天长 8 份，所以最多只能养 8 只羊。选 B 选项。
【例4：抽水机问题 (2017 国考)】

某水库发生漏水，每天漏入均匀的水量。若用 10 台抽水机，8 小时可抽完；若用 12 台抽水机，6 小时可抽完。若要 4 小时抽完，需要多少台抽水机？

A. 14
B. 15
C. 16
D. 18
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【解析】
此题为牛吃草模型的变种，水库原有水是“原草量”，漏入的水是“长草”，抽水机是“牛”。
① Y = (10 – x) × 8
② Y = (12 – x) × 6
联立解得：80 – 8x = 72 – 6x → 2x = 8 → x = 4，Y = 48。
求 4 小时抽完所需台数 N：
48 = (N – 4) × 4 → 12 = N – 4 → N = 16 台。选 C 选项。
【例5：生产效率变动 (2022 四川)】

每天运24车，5天完；每天18车，8天完。现每天运 x 车，4天后生产效率提50%，又用7天完。求 x 最小值？

A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
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【解析】
这依然是“牛吃草变种”。库存是“原草量 y”，每天生产是“草长 a”，每天运走的车数是“牛”。
1. 基础数据求方程：y = (24 – a) × 5； y = (18 – a) × 8。
解得 a = 8, y = 80。
2. 变动过程分析：
前 4 天，工厂每天产 8。后 7 天效率提 50%，即每天产 8 × 1.5 = 12。
总工作量 = 初始库存 + 生产总量 = 80 + (8×4) + (12×7) = 80 + 32 + 84 = 196。
这 196 份零件由货车运走，货车共运了 4+7 = 11 天。每天运 x 车。
11x = 196 → x ≈ 17.8。
由于车数必须为整数且要求运完，所以取最小值 x = 18。选 A 选项。
【例6：排队检票问题 (2021 江苏)】

某火车站检票口在开检前已有旅客排队，且之后每分钟新增排队人数相同。若开 3 个窗口，40 分钟可检完；若开 4 个窗口，25 分钟可检完。若要在 15 分钟内检完，至少需要开几个窗口？

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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【解析】
开门前的排队人数是“原草量”，每分钟新增人数是“草长”，窗口数是“牛”。
① Y = (3 – x) × 40
② Y = (4 – x) × 25
联立解得：120 – 40x = 100 – 25x → 15x = 20 → x = 4/3，Y = 200/3。
求 15 分钟内检完的窗口数 N：
200/3 = (N – 4/3) × 15 → 200/45 = N – 4/3 → N = 40/9 + 12/9 = 52/9 ≈ 5.77。
为了在 15 分钟“内”检完，窗口数必须向上取整，至少开 6 个窗口。选 B 选项。
【例7：草枯萎相遇模型 (2019 山东)】

冬天牧场长满草，但由于天气变冷，草每天在匀速枯萎减少。如果放 10 头牛，10 天可以把草吃完；如果放 5 头牛，15 天可以把草吃完。如果放 20 头牛，几天可以把草吃完？

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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【解析】
注意避坑：草在枯萎，说明自然环境和牛在“共同消耗”草量，属于同向相遇模型！
核心公式变为：Y = (N + x) × T。
① Y = (10 + x) × 10
② Y = (5 + x) × 15
联立解得：100 + 10x = 75 + 15x → 5x = 25 → x = 5，Y = 150。
求 20 头牛吃完的时间 T：
150 = (20 + 5) × T → 25T = 150 → T = 6 天。选 B 选项。
【例8：资源开采问题 (2010 国考)】

某河段的河沙储量是一定的，且每天有水流带来相同数量的泥沙。若安排 30 艘采砂船，300 天可采完；若安排 25 艘，400 天可采完。若安排 20 艘采砂船，需要多少天能采完？

A. 500
B. 600
C. 700
D. 800
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【解析】
采砂船是“牛”，水流带来的泥沙是“草长”。直接套用核心公式 Y = (N – x) × T：
① Y = (30 – x) × 300
② Y = (25 – x) × 400
联立解得：9000 – 300x = 10000 – 400x → 100x = 1000 → x = 10，Y = 6000。
求 20 艘采砂船采完的时间 T：
6000 = (20 – 10) × T → 10T = 6000 → T = 600 天。选 B 选项。
【例9：正向消长/研磨器辅助 (2018 广东)】

增加2台手工研磨器，10小时完；增加8台，8小时完。想5小时完，需增多少台？

A. 20
B. 24
C. 26
D. 28
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【解析】
注意：此题中电动研磨器和手工研磨器是“合作关系”，都在消耗中药量。类似于牛在吃草，同时农夫也在拔草。公式变为：Y = (N + x) × T。
设原有机器效率和为 x，待磨总量为 Y。
① Y = (2 + x) × 10
② Y = (8 + x) × 8
解得：20 + 10x = 64 + 8x → 2x = 44 → x = 22, Y = 240。
想 5 小时完：240 = (n + 22) × 5 → 48 = n + 22 → n = 26 台。选 C 选项。
✨ 恪言人 · 更新时间: 2026/2/9 ✨

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