数量关系：排列组合与概率
分类分步 · 插空捆绑 · 概率跟屁虫法
1. 排列数：传统 Anm 本文记为 A(n, m)，表示从 n 个中选 m 个排。
2. 组合数：传统 Cnm 本文记为 C(n, m)，表示从 n 个中选 m 个组。
（例：C(5, 2) 等同于从5个中选2个的组合数；A(6, 6) 等同于6个元素的全排列。）
从 n 个中取 m 个排序（有顺序），记为 A(n, m)。
A(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)
例：7人选4人站排，A(7, 4) = 7×6×5×4 = 840。
从 n 个中取 m 个成组（无顺序），记为 C(n, m)。
C(n, m) = A(n, m) ÷ A(m, m)
例：7人选3人出席，C(7, 3) = (7×6×5) ÷ (3×2×1) = 35。
C(n, m) = C(n, n-m)
理解：“5人选3人”相当于“5人淘汰2人”，选法相同。遇到大数字可转换：C(7, 5) = C(7, 2)。且 C(n, n) = 1。
完成任务有若干互斥方法，每种均可独立完成。一句话：多选一，各走各路，最后把路加起来。
完成任务需多个步骤，每步影响后续。一句话：一步一步来，最后把步数乘起来。
🔥 解题铁律：有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手。
- 定序除序：5人排队，其中2女由高到低排。总排法 = A(5, 5) ÷ A(2, 2) = 60。
- 相同除序：6个球(2黑2白2红)排6个位置。排法 = A(6, 6) ÷ [A(2, 2)×A(2, 2)×A(2, 2)] = 90。
- 均分除序：6人均分3组，每组2人。分组不带标签无顺序。排法 = [C(6, 2)×C(4, 2)×C(2, 2)] ÷ A(3, 3) = 15。
把相邻元素捆成一个整体全排，最后解绑内部全排。
先排剩余元素，找出空位，再将不相邻元素插入。
将 n 个相同物品分 m 组，每组至少 1 个。公式：C(n-1, m-1)。
n 元素围圈，剔除旋转重复。公式：A(n-1, n-1)。
| 元素个数 n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 错排方法数 | 0 | 1 | 2 | 9 | 44 | 265 |
概率 P = 满足条件情况数 ÷ 总情况数 = 1 – 反向概率
识别：概率中出现“同一行、同一组、圆周相邻”等情况。
神级思路：让第一个元素随便放！只考虑第二个元素相对于第一个元素的位置。
- 例：100人围圈篝火，国王和王后恰好相邻的概率？
让国王随便坐。剩下99个空位。能与国王相邻的只有左右2个位置。概率直接得 2/99。
10名专家，预定一层5间、二层5间房。4人要求住二层，3人要求住一层，其余3人均可，每人1间，有多少种方案？
3个部门分别派3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门选手比赛顺序必须相连，不同顺序种数在哪个范围？
8个人开会全部到场。问恰好有3个人坐错位置的情况一共多少种？
某停车场有7个连成一排的空车位。现有3辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为：
有5对夫妻参加一场婚礼，被安排在一张10个座位的圆桌就餐，随机安排座位，5对夫妻恰好相邻而坐的概率是（ ）。
某单位会议室有5排共40个座位。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：
一只蜘蛛爬到一块正方形瓷砖上，该瓷砖的花纹由8个全等的菱形和12个全等的等腰直角三角形构成（如下图所示），假设蜘蛛的停留位置是随机的，那么蜘蛛恰好停在白色区域的概率最接近下列哪个值？
一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边水管长 7 米。在水管上任选 1 点做标记，该点在斜边上的概率范围？
12 个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个团队。要求乙比甲少，但比丙多，且每个团队至少 1 个。有多少种不同分配方式？