数量关系：容斥问题

📌 公式：总数 – (非A且非B) = A ＋ B – A∩B

【口诀】总数 － 都不满足 = 两集合之和 － 两集合公共数

I – (非A且非B且非C) = A ＋ B ＋ C – A∩B – B∩C – A∩C ＋ A∩B∩C

【口诀】总数 － 都不满足 = A＋B＋C – (A∩B) – (A∩C) – (B∩C) ＋ (A∩B∩C)

总数 － 都不满足 = A ＋ B ＋ C － 只满足两项 － 2 × 满足三项

根据文氏图分区：总数－都不满足 = 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7。
A＋B＋C 包含了 (1+2+3) + 2×(4+5+6) + 3×(7)。
发现 4、5、6 (只满足两项) 多加了1次，7 (满足三项) 多加了2次。
由此得出非标准公式：减去 1 次“只满足两项”，减去 2 次“满足三项”。
同理，若使用 A∩B、B∩C、A∩C 减去重叠部分，因为中心区域 7 会被减去 3 次，导致中心成了空白，所以最后必须把 7 (A∩B∩C) 加回来1次，这就是标准公式的来源。

某公司组织歌舞比赛，共 68 人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有 12 人，参加歌唱比赛的有 18 人，45 人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？

某市抽检 52 种产品，8 种低温柔度不合格，10 种可溶物不达标，9 种剪切性能不合格。同时两项不合格的有 7 种，有 1 种三项都不合格。则三项全部合格的产品有多少种？

某问卷回收率为 90%。调查对象中 180 人利用网络，200 人利用书本，100 人利用移动设备。同时使用三种方式的有 50 人，同时使用两种方式的有 20 人，不存在三种都不用的人。问共发放多少份问卷？

某单位 42 名职工参加活动，每人至少参加一种。瑜伽 22 人，蛙跳 30 人，跑步 15 人。其中 5 名职工三种都参加了。该单位有（ ）名职工只参加了一种健身活动？

50 位游客，去 A景点 35 位，B景点 32 位，C景点 27 位。去 A、B 有 20 位，去 B、C 有 15 位，三个景点都去 8 位。有 2 位游客去完一个景点后先行离团，还有 1 位游客三个都没去。问恰好去了两个景点的有多少位？

有 24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果。既吃冰激凌又吃蛋糕的有 12人，既吃冰激凌又吃水果的有 16人，既吃蛋糕又吃水果的有 18人，三样都吃的有 6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？

👉 点击查看文氏图解析

【解析】
利用文氏图从“最核心”往外填数据最为清晰：
中心三样都吃 = 6人。
只吃冰+蛋 = 12 – 6 = 6人。
只吃冰+果 = 16 – 6 = 10人。
只吃蛋+果 = 18 – 6 = 12人。
倒推单一外围圈：
只吃冰激凌 = 24 – (6 ＋ 6 ＋ 10) = 2 人；
只吃蛋糕 = 30 – (6 ＋ 6 ＋ 12) = 6 人；
只吃水果 = 38 – (10 ＋ 6 ＋ 12) = 10 人。
则只吃一样东西的总人数 = 2 ＋ 6 ＋ 10 = 18 人。选 B 选项。

某学院中，会俄语的都会英语，其中一半还会法语；会英语的有一半会法语；这三种都会的有 50人，只会其中两种的有 100人，只会其中一种的有 150人。问会法语的有多少人？

👉 点击查看嵌套文氏图

【解析】
因为“会俄语都会英语”，所以俄语圈被英语圈完全包含。
会俄语的人中，一半会法语，而且三种都会的有 50 人，说明这一半就是 50 人。因此，会俄语的总人数为 100 人。另一半 50 人只会俄语和英语（属于“只会两种语言”类别）。
已知“只会其中两种语言的有 100 人”，减去上述只会俄、英的 50 人，得出 只会英语和法语的学生有 50 人。
会英语的人中，会法语的人数 = 三种都会的50人 + 只会英法的50人 = 100 人。又因“会英语的有一半会法语”，故会英语的总人数 = 200 人。
其中只会英语的学生 = 英语总(200) – (俄英法50 + 俄英50 + 英法50) = 50 人。
因为俄语全被包含，不可能有只会俄语的。故只会一种语言的人(150) = 只会英语的(50) + 只会法语的。
得出 只会法语的 = 150 – 50 = 100 人。
则会法语的总人数 = 只会法语(100) ＋ 只会英法(50) ＋ 三者都会(50) = 200 人。选 B 选项。

物理、化学均不及格占全班 14%，物理及格比化学及格多 10 人，且化学及格占全班 60%。全班不超过 70 人，问物理化学都及格的有多少人？