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👑 数量关系高阶技巧

数量关系：余数特性

同余定理 · 余数可加乘 · 快速代入破局

💡 题干特征：当题目中出现 每人、平均、多几个、少几个 等字眼时，通常考查余数问题。余数特性常结合“倍数特征”和“代入排除法”进行秒杀。

📏 一、基本公式
余数基本关系式

被除数 ÷ 除数 = 商 …… 余数

（注：0 ≤ 余数 < 除数）

余数基本恒等式

被除数 = 除数 × 商 + 余数

🌟 二、同余定理（三大口诀）

当看到“某物按 x 个分组还余 y 个”的条件，这就是典型的同余问题，牢记以下三大口诀：

1. 余同加余

一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1。
通式：这个数是 4、5、6 的最小公倍数(60)的倍数加 1 → 60n + 1。

2. 和同加和

一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1。（特征：除数+余数 均为7）
通式：这个数是 4、5、6 的最小公倍数(60)的倍数加 和(7) → 60n + 7。

3. 差同减差

一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5。（特征：除数-余数 均为1）
通式：这个数是 4、5、6 的最小公倍数(60)的倍数减 差(1) → 60n – 1。

🧩 三、余数的计算特性
  • 可加性：
    已知 28÷3余1，16÷3余1。那么 (28+16)÷3 的余数 = 余1 + 余1 = 余 2。
  • 可减性：
    已知 28÷3余1，16÷3余1。那么 (28-16)÷3 的余数 = 余1 – 余1 = 余 0。
  • 可乘性：
    已知 28÷3余1，16÷3余1。那么 (28×16)÷3 的余数 = 余1 × 余1 = 余 1。
⚔️ 四、随笔练习（上）
【真题1：2019江苏】

一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人，5 人一组还多 3 人，7 人一组还多 4 人，则该群学生的最少人数是（ ）

A. 23
B. 53
C. 88
D. 158
👉 点击查看解析
【解析】
要求“除以3余2，除以5余3，除以7余4”。这属于非标准同余问题，直接利用代入排除法！
即该数减 2 为 3 的倍数，减 3 为 5 的倍数，减 4 为 7 的倍数。
求“最少”，从最小选项代入：
A 项：23 – 4 = 19，不能被 7 整除，排除；
B 项：53 – 2 = 51 (能被3整除)，53 – 3 = 50 (能被5整除)，53 – 4 = 49 (能被7整除)。全部符合！
故选 B 选项。
【真题2：2014天津】

这支队伍的人数是 5 的倍数且不少于 1000 人。如果按每排 4 人编队，最后少 3 人；如果按每排 3 人编队，最后少 2 人；如果按每排 2 人编队，最后少 1 人。请问最少有多少人：

A. 1045
B. 1125
C. 1235
D. 1345
👉 点击查看解析
【解析】
条件一：除以4少3人，即 除以4余1。C 项 1235÷4 余 3，排除；
条件二：除以3少2人，即 除以3余1。B 项 1125 能被 3 整除，排除；
条件三：除以2少1人，即 除以2余1（必须是奇数，A/D 均符合）。
剩余 A、D。题目问“最少”，1045 满足 1045÷3余1，1045÷4余1。故选 A 选项。
【真题3：2009江西】

人数在 90-110 之间。排成 3 排不多不少；排成 5 排少 2 人；排成 7 排少 4 人；学生人数是多少 ?

A. 102
B. 98
C. 104
D. 108
👉 点击查看同余/代入双解法
【解析】
解法一（代入法）：“排成3排不多不少”即能被3整除，排除 B(98)、C(104)。代入 A：102排成5排余2(即少3人)，不符排除。D满足，选 D。
解法二（同余定理）：“排成5排少2人”即除以5余3；“排成7排少4人”即除以7余3。属于“余同加余”。
通式：35n + 3。当 n=3 时，人数 = 105+3 = 108。在 90-110 之间且能被3整除。故选 D 选项。
【真题4：2019联考】

一等奖得 9 分，二等奖得 5 分，三等奖得 2 分。甲队共有 10 位选手参赛，均获奖。最后总分为 61 分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
👉 点击查看不定方程+余数法
【解析】
设一二三等奖人数分别为 x, y, z。
① x + y + z = 10
② 9x + 5y + 2z = 61
消去 z (式② – 2×式①)：7x + 3y = 41。
通过余数可减性分析：41 除以 3 余 2。3y 能被 3 整除，故 7x 除以 3 必须余 2。
通过余数可乘性分析：7 除以 3 余 1。因为 (余1) × (x的余数) = 余2，所以 x 除以 3 必须余 2。
选项中除以 3 余 2 的只有 5。故选 C 选项。
⚔️ 四、随笔练习（下）
【真题5：2024广东】

如果每位志愿者服务 10 位老人，则有 5 位老人无人提供服务；如果增加 2 位志愿者，则每位志愿者最多服务 8 位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有（ ）位独居老人。

A. 50
B. 55
C. 60
D. 65
👉 点击查看解析
【解析】
由“每位服务10位老人，余5位”可知：(老人人数 – 5) 必定能被 10 整除。直接排除 A(50)、C(60)。
剩余 2 个选项代入排除。求“最多”，从大项 D 开始：
代入 D (65)：志愿者 = (65 – 5) ÷ 10 = 6 人。加 2 人后为 8 人。8 人最多服务 8×8=64 人，64 < 65，无法满足，排除。
代入 B (55)：志愿者 = (55 – 5) ÷ 10 = 5 人。加 2 人后为 7 人。7×8=56 人 > 55，满足条件。故选 B 选项。
【真题6：2019湖北选调】

某比赛售出 40 元、80 元、120 元门票共 2000 张，其中 80 元的门票数是 120 元的 2 倍，门票收入共 12 万元。则 40 元门票售出多少张?

A. 1000
B. 1150
C. 1200
D. 1250
👉 点击查看不定方程+余数法
【解析】
设 40元门票 x 张，120元门票 y 张，则 80元门票 2y 张。
总数为 2000，列式：x + 3y = 2000。
运用余数可加性分析：
等式左边 3y 肯定能被 3 整除（余 0）；
等式右边 2000 除以 3 余 2（2000 = 1998 + 2）。
因此：x 的余数 + 余 0 = 余 2 → x 除以 3 必须余 2。
代入选项验证：A(余1)、B(余1)、C(余0)、D(1250÷3余2)。故选 D 选项。
【真题7：2014黑龙江】

用 1 到 7 的数字组成一个六位数密码，每个数字只用一次，在所有可能的排列中，能被 3 整除的数字占所有可能的比重为：

A. 1/7
B. 2/7
C. 3/7
D. 4/7
👉 点击查看排列组合+整除法
【解析】
3 的整除特性：数位数字之和能被 3 整除。1到7 全部数字之和为：1+2+3+4+5+6+7 = 28。
28 ÷ 3 = 9 …… 1 (余1)。
选 6 个数字即剔除 1 个数字。为了让剩下的和能被 3 整除，剔除的数字必须也是除以 3 余 1 的数。
1到7中除以3余1的数有：1、4、7，共 3 个数字。
可能排列总数：A(7,6)。
满足条件的排列数：3 × A(6,6)。
所占比重 = [3 × A(6,6)] ÷ A(7,6) = 3/7。故选 C 选项。
【真题8：2019山东选调】

一个盒子里有乒乓球 100 多个，如果每次取 5 个剩 4 个，每次取 4 个剩 3 个，每次取 3 个剩 2 个。如果每次取 12 个最后剩多少个？

A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
👉 点击查看差同减差法
【解析】
每次取5剩4，取4剩3，取3剩2。（除数-余数 均为1），属于同余定理中的“差同减差”。
乒乓球总数加1，应同时是 5、4、3 的最小公倍数(60)的整数倍。
通式：总数 = 60n – 1。
有100多个球：100 < 60n – 1 < 200，解得 n = 2 或 3。
n=2，总数=119。119 ÷ 12 = 9 余 11。
n=3，总数=179。179 ÷ 12 = 14 余 11。
每次取12个都剩 11 个，故选 A 选项。
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