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👑 数量关系思维反转

数量关系：最值问题

最不利原则 · 构造数列 · 容斥极值

💡 题型识别：题干或问法中出现 至多、至少、最多、最少、最大、最小 等字眼时，通常为最值问题。这类题目不考繁杂的计算，考的是极致的逻辑推演。

🎲 题型一：最不利原则 (抽屉原理)
🔍 特征与核心法则

问法出现：“至少……才能……，保证(一定)……”。
“保证”考虑最糟糕的情况，与成功一线之差。“可能”则考虑最理想的情况。
🔥 解题公式：“保证数” = “最不利情况数” + 1

💡 经典举例：5红、8白、10黄

  • 至少取()个，保证有红球？ 最坏情况取完所有白、黄(18个)，再取1个必红。至少取 19个。
  • 至少取()个，保证至少3个同色？ 最坏情况每种各取2个(共6个)，再取1个某色必达3个。至少取 7个。
  • 至少取()个，保证至少8个同色？ 红球最多才5个，最坏情况取完5红，且白黄各取7个(共19个)。再取1个必有颜色达8。至少取 20个。
⚖️ 题型二：构造数列类

特征：若干个数总和固定，问“最多的人最少如何”、“排名第N的至多如何”。
解题思路（反向压榨）：要使某个值尽可能大，则其他的数应尽可能小；反之亦然。列出加和方程求解。

⚠️ 注意事项（取整原则）：

  • 若问最少、至少，解出小数应向上取整（确保不低于下限）。
  • 若问最多、至多，解出小数应向下取整（确保不超过上限）。
⭕ 题型三：容斥极值类

多集合题目中，出现“至少…都…”的情况。

方法1：多集合反向构造

第一步(反向)：求各集合的补集(不满足数)。
第二步(加和)：补集相加(假设毫无重复)，得“不都满足”的最大值。
第三步(作差)：总数 – 补集和 = “都满足”的最小值。

方法2：正向公式 (推荐)

1. 两集合都满足至少 = A + B – 1×U (U为全集)
2. 三集合都满足至少 = A + B + C – 2×U
3. 四集合都满足至少 = A + B + C + D – 3×U

⚔️ 随笔练习

【例1：(2022河北) 最不利原则】

有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计50人，统计学20人，至少有（ ）人找到工作才能保证一定有50人的专业相同。

A. 167
B. 168
C. 170
D. 175
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【解析】
题目问“至少······才能保证······”，为最不利构造题型。
最不利的情况为：每个专业最多只有 49 人找到工作。由于统计学总共只有 20 人，全部找到工作也到不了 49，因此统计学全部算上。
最不利情况数 = 49(法学) + 49(经济学) + 49(工业设计) + 20(统计学) = 167人。
在此基础上再任意多 1 人，就可以满足有 50 人的专业相同。即至少要有 167 + 1 = 168 人。
故正确答案为 B 选项。

【例2：(2024年深圳30%) 搭配组合+最不利】

早餐店推出“10元2件”套餐，顾客可在白粥、豆浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面 6 个品类中任选 2 件（可相同也可不同）。至少售出（ ）份该套餐时，一定有 2 份套餐的搭配完全一致。

A. 15
B. 16
C. 21
D. 22
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【解析】
首先计算出总共有多少种不同的搭配：
若选出的 2 件为相同品类，共有 6 种搭配；
若选 2 件为不同品类，即从 6 个中任选 2 个的组合数：C(6, 2) = (6×5)/(2×1) = 15 种。
总搭配种类 = 6 + 15 = 21 种。
根据“至少······一定有”判定为最不利构造问题。最不利情况为每种搭配刚好各售出 1 份，共 21 份。
在此基础上再售出 1 份，一定有 2 份套餐搭配一致。至少售出 21 + 1 = 22 份。
故正确答案为 D 选项。

【例3：(2020浙江温州) 最不利原则（抽屉原理）】

任意分成4组，总会至少有一组的男生多于2人，那么男生至少有几人？

A. 5
B. 8
C. 9
D. 13
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【解析】
题目要求“至少有一组多于 2 人（即 3 人或以上）”。考虑最不利的情况，即每组的男生人数都尽可能多，但都没有超过 2 人（最多 2 人）。
分 4 组，最不利情况是每组刚好 2 人，共 4 × 2 = 8 人。
再多加 1 人，即 8 + 1 = 9 人，那么无论怎么分，必定至少有一组男生超过 2 人。
故正确答案为 C 选项。

【例4：(2024黑龙江) 抽屉原理变式】

部门开展拔河、羽毛球、乒乓球、台球 4 项比赛，每名职工参加 1 项或 2 项。若要保证至少有 5 名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有：

A. 40名
B. 41名
C. 50名
D. 51名
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【解析】
首先计算每个人“参赛项目组合”有多少种可能（这就是“抽屉”的数量）：
参加一项：C(4, 1) = 4 种。
参加两项：C(4, 2) = (4×3)/(2×1) = 6 种。
共有 4 + 6 = 10 种参赛组合。
要保证至少 5 名职工组合完全相同，考虑最不利情况：每种组合最多只有 4 名职工，此时最多有 4 × 10 = 40 名职工。
当再有第 1 名职工加入时（即第 41 名），无论选哪种组合，必定有一组达到 5 人。
故至少需要 40 + 1 = 41 名。选 B 选项。

【例5：(2013国考) 构造数列类】

某单位招聘 65 名毕业生，分配到 7 个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名：

A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
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【解析】
招聘 65 名是一定的。行政部门分得最多，且问“至少”多少名，采用构造数列方法。
要使行政部门（最多者）尽量少，则其他部门应尽量多，且不能超过行政部门。
设行政部分了 x 人，其余 6 个部门为了尽可能多，最好都分得 x-1 人。
总和 = x + 6 × (x – 1) = 65。
7x – 6 = 65 → 7x = 71 → x = 10.14。
因为问“至少”，且人数必须是整数，所以应当向上取整。取 11。
答案选 B 选项。

【例6：(2012河北) 构造数列类】

要把 21 棵桃树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上，要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪最多栽多少棵桃树？

A. 7
B. 8
C. 10
D. 11
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【解析】
存在“和”为 21。所求为最大量的最大值。
要使面积最大的草坪栽种最多，则其他 4 个草坪栽种的桃树应尽可能的少。
由于要求“必须有树”（最小是1）且“棵数各不相同”，所以其他四个草坪最少只能分别栽 1、2、3、4 棵。
设最大草坪栽了 x 棵，则：x + 4 + 3 + 2 + 1 = 21。
x + 10 = 21 → x = 11。
答案为 D 选项。

【例7：(2015广东) 容斥极值】

阅览室有 100 本杂志。小赵借阅过 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅过 60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有多少本？

A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
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【解析】
方法一（正向公式）：
三集合满足的至少为 A + B + C – 2U。
75 + 70 + 60 – 2 × 100 = 205 – 200 = 5 本。方法二（多集合反向构造）：
① 反向：三个人没有借阅过的杂志分别是 100-75=25本，100-70=30本，100-60=40本；
② 求和：让没借阅过的尽量不重复，一共 25+30+40 = 95本；
③ 作差：三人共同借阅的最少为 100 – 95 = 5 本。
选 A 选项。

【例8：(2022江苏) 容斥极值】

对 1000 名受访者调查，看乒乓球的占 87%，看跳水的占 75%，看田径的占 69%。这 1000 人中，三项比赛都看过的至少有多少人？

A. 310人
B. 440人
C. 620人
D. 690人
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【解析】
乒乓、跳水、田径看过的分别为：870人，750人，690人。方法一（正向公式）：
三项至少 = A + B + C – 2U。
870 + 750 + 690 – 2 × 1000 = 2310 – 2000 = 310 人。

方法二（反向构造）：
① 没看过的分别为：130人，250人，310人。
② 求和（假设不重复）：130 + 250 + 310 = 690 人。
③ 作差（全集减去没看过的）：1000 – 690 = 310 人。
选 A 选项。