👑 数学常识必修课
数学常识：基础概念与运算技巧
整除核心 · 质因数分解 · 公约/公倍数速算法
➗ 一、除法的四大金刚
核心等式：
被除数 ÷ 除数 = 商 …… 余数
被除数 = 除数 × 商 + 余数
1. 被除数 & 除数
被除数：被“分割”的数。
除数：用来分割被除数的数。
例：13 ÷ 5 = 2 余 3。13是被除数，5是除数。
2. 商 & 余数
商：整除后的整数结果。
余数：剩余无法整除的部分。
铁律：余数 < 除数
💡 什么是“整除”？
指一个整数被另一个非零整数除尽，商为整数且无余数 (余数为0)。例：12 ÷ 4 = 3，即 4 整除 12。
🔢 二、因数与倍数家族
1. 约数 (因数)
指能整除一个数的数。
例：6 的因数是 1, 2, 3, 6。
2. 质数 (素数)
大于1的自然数，除了1和本身外没有其他约数。
例：2, 3, 5, 7, 11…
注意：1 不是质数！
3. 质因数
一个正整数的约数，且该数本身是质数。
例：8 = 2×2×2，2 是 8 的约数且为质数，故 2 是 8 的质因数。
4. 倍数
整数 A 能被整数 B 整除，A 就是 B 的倍数。
注：不能单独叫倍数，只能说“谁是谁的倍数”。
⚖️ 三、公约数与最大公约数 (GCD)
公约数：能同时整除若干个整数的整数。最大公约数即其中最大的一个。
铁律 1：任何两个整数至少有 1 个公约数（即1）。
铁律 2：若两数的最大公约数是 1，则称它们互质（如 8 和 15）。
💡 四大招：如何找最大公约数？
- 1. 列举法（适合小数）：找12和16的最大公约数。12的约数(1,2,3,4,6)，16的约数(1,2,4,8)。公有的最大数是 4。
- 2. 筛选法：先列出小数12的约数，从大到小看哪个能整除大数16。发现4可以。
- 3. 分解质因数法：取所有共有质因数的最低幂次相乘。
例：12 = 22 × 31，18 = 21 × 32。最大公约数为 21 × 31 = 6。 - 4. 辗转相除法（适合大数）：大数除小数取余，再用小数除以余数…直到余数为0。最后的除数即最大公约数。
例：求48和18。48 ÷ 18 = 2余12 → 18 ÷ 12 = 1余6 → 12 ÷ 6 = 2余0。故最大公约数 = 6。
♾️ 四、公倍数与最小公倍数 (LCM)
公倍数：几个自然数相同的倍数。最小公倍数即公倍数中最小的一个。
铁律 1：若两数互质，最小公倍数就是它们的乘积。
铁律 2：若两数是倍数关系，较大的数就是最小公倍数。
💡 四大招：如何找最小公倍数？
- 1. 列举法：分别列出倍数找相同的最小数。
- 2. 筛选法：列出大数的倍数，看哪个最先能被小数整除。
- 3. 分解质因数法：取所有出现过的质因数的最大幂次相乘。
例：求30和8。30 = 51 × 31 × 21，8 = 23。最小公倍数 = 23 × 31 × 51 = 120。 - 4. 短除法（最常用）：用公约数连除，直到商两两互质，最后把所有除数和商连乘。
例：求18、30、7。用2除得9,15,7；再用3除得3,5,7(两两互质)。乘积 = 2×3×3×5×7 = 630。
👇 短除法运算图解
✨ 知己知彼 · 百战不殆 · 恪言人管理组 ✨