👑 图形推理降维打击

图形推理-空间类

折纸盒 · 立体拼合 · 三视图 · 截面图

📦 一、六面体折纸盒

六面体常见展开图

（一）相对面（一键秒杀利器）

1、定义：a面和b面如果是相对面，立体图中只能看到一个，且必须看到一个。
2、基本判定法则：
（1）同行/同列隔一面：在平面展开图中，如果在同一行或同一列且中间隔了一个面，则是相对面。
（2）“Z”字形法则：在平面展开图中，如果两个面在“Z”字形两端，且紧靠着“Z”字中间那条线，则是相对面。（注意图3的c和d未紧靠中间竖线，不是相对面）。

【例：(2016江苏) 相对面排除】

上边这个图形是由下边四个图形中的某一个作为外表面折叠而成，请指出它是哪一个？

👉 点击查看解析

立体图中的三个直线面挨在一起，是相邻面。
A项：第1行直线面和第3行中间直线面是相对面，折叠后只能出现1个；第3行两侧直线面是相对面，只能出现1个。即最多只能看到2个直线面，排除。
B项：左侧三个直线面紧挨，是相邻面，可能折成，保留。
C项：第1行直线面和第3行中间直线面是相对面，最多只能看到2个直线面，排除。
D项：第3行两侧直线面是相对面，最多只能看到2个直线面，排除。
故正确答案为 B 选项。

（二）相邻面（定海神针）

相邻面分为公共边和公共点两种判定方式。

1、公共边法

（1）平面图中相交线或直角的两条边是同一条边。（面A和C的蓝边折叠后重合）
（2）“L”型的两条边是同一条边。（面b左边和面d上边呈直角，红边重合）
（3）一列/行连着4个面，两头的两条边是同一条边。

【例：(2019江苏) 公共边判定】

👉 点击查看解析

A项：看灰色三角形和白块面/黑块面的公共边，无明显错误，保留。
B项：展开图中公共边挨着灰块，而选项的公共边挨着白块，排除。（见下图一）

C项：黑块面白块面有公共边，且公共边均挨着黑块。但在展开图中，黑三角形面有两种情况（面1和面2）。面1与黑块面是相对面，面2与白块面是Z字相对面，均不能同时出现，排除。（见下图二）
D项：展开图中公共边挨着灰色三角形，选项中挨着白色三角形，排除。
故正确答案为 A 选项。

2、公共点法（马走日）

（1）相邻三个面的公共点是唯一的。展开图公共点发散出的线条，必须与立体图一致。
（2）“L”型的两个点是同一个点。
（3）马走日法：跟象棋“马”走法一样，找公共点。点A走两次“日”到点B，则A、B是同一个点。

【例：(2018山东) 公共点判别】

👉 点击查看解析

A项：展开图中公共点没有发散出线条，而选项的公共点发散出了一条直线，排除。
B项：展开图和选项的公共点均发散出一条直线，保留。
C项：展开图中最左侧面的三角形顶点落在公共边上，而选项中是三角形的底边落在公共边上，排除。
D项：上面和右侧面是相对面，不能同时出现，排除。
故正确答案为 B 选项。

【例：(2015国考) 马走日实战】

👉 点击查看解析

A 项：对点A进行走“日”，A->1->B，公共点对应的三个面为展开图最右边两个面+左下面，对比正方形，公共点和面均一致。A正确。
B 项：正方形公共点靠近小三角形，而展开图是离开三角形。B错误。
C 项：正方形的上面和左面方向不对。C错误。
D 项：正方形的正面是镜像无法找到对应的公共点。D错误。

（三）通用解题绝招：画边法与箭头法

画边法：找一个特殊面的唯一点作为起点，顺时针画边并标号。展开图和立体图的“公共边序号”必须对应。
箭头法：找一个非对称的特征面画箭头，观察箭头上下左右的面在展开图和立体图中是否一致。

【例：(2017河南) 画边法】

👉 点击查看解析

对核心特征面（直角梯形）顺时针画四条边。
A项：选项第4条边对应小三角形的直角边，而展开图中对应长底边。排除。
B项：选项第2条边对应面h，展开图对应面j。排除。
C项：与题干展开图完全一致。当选。
D项：面e与面j为相对面，不能同时出现。排除。

【例：(2016重庆) 箭头法】

👉 点击查看解析

在双箭头特征面画大箭头。
A项：阴影七角星在箭头的下方，展开图在左方，排除。
B项：火柴头在箭头的左方，展开图在右方，排除。
C项：立体图中箭头指着自身箭头面，展开图指着S面，排除。
D项：无错误，当选。

🔺 二、四面体

四面体的四个面都相邻，不存在相对面，直接使用相邻面排除法（画边法最稳）。

公共边判定法则：

（1）构成一条直线的两条边是公共边。
（2）平行四边形展开图中，两端的短边是公共边。

🧩 三、立体拼合

1、题型判定：

（1）提问：题干中完整图形是由残缺图形与哪个选项共同构成？
（2）题干：给出一个完整图形及几个残缺图形。

2、解题方法：

（1）数个数（选项个数是否与题干一致，最简单的秒杀法）。
（2）试拼（找特殊块 -> 先拼“占地大”的块）。
（3）分层画图法（化立体为平面，化拼为拆，最严谨的保底法）。

【例：(2019国家) 极速数个数】

下图为同样大小的正方体堆叠而成的多面体正视图和后视图。该多面体可拆分为①、②、③和④共4个多面体的组合，问下列哪一项能填入问号处？

👉 点击查看解析

图形可分为前中后3排。
最前面一排，根据正视图可知共有 2 个小立方体；中间一排，根据正视图和后视图可知共有 8 个小立方体；最后一排，根据后视图可知共有 12 个小立方体。
故该多面体共有 2+8+12 = 22 个小立方体。
观察题干图形发现，①有 5 个，②有 6 个，③有 5 个。
若要将①、②、③、④拼成题干多面体，则④应该有 22 – (5+6+5) = 6 个小立方体。
A项有 4 个，B项有 5 个，C项有 5 个，D项有 6 个。故正确答案为 D 选项。

【例：(2021国家) 试拼大图】

左图给定的是由相同正方体堆叠成的多面体的正视图和后视图。该多面体可以由①、②和③三个多面体组合而成，问以下哪一项能填入问号处？

👉 点击查看解析

观察题干，母图一共4层，图①横跨了所有的层级，并且图①可以直接拼上去，没有第二种拼法，所以我们先试拼，把图①拼上去。如解析图一所示。

对于图②，最底下的一层有4个方块。在母图中最底层刚好有四个格子空缺，图②第二层3个方块也与母图倒数第二层缺3块完美对应，可以直接拼上去。如解析图二所示。

剩下的空位就剩第一层五个方块，第二层的一个方块，刚好对应的是 C 选项。

【例：(2022国家) 分层画图法】

左图给定的是由相同正方体堆叠而成的多面体。该多面体可以由①、②和③三个多面体组合而成，以下哪项能填入问号处？

👉 点击查看解析

使用分层画图法要把每层的平面图画出来，如解析图一所示：

首先，根据试拼的原理，先去考虑横跨层级多的图，把占据的位置在平面图中记录下来（打叉或画阴影）。优先看图②，横跨了三个层级，因为最底面占据3个位置，因此只能放在母图的最右侧。第二层占据一个位置；第三层占据2个位置，把第三层平面图全部占据了。

然后观察图①，图①底层是一个十字架，明显在母图的底层平面图放不下，只能出现在母图二层平面图。而图①顶层剩下孤零零的一个，如果放在母图平面图顶层是放不下的，所以这一个方块要倒过来放在母图底层，所以要考虑旋转的情况：
第一种左右旋转180度，即对应平面图的 A 位置；第二种前后旋转180度，即对应平面图的 B 位置，并标记。

假设放在 A 位置，平面图剩5个位置，观察选项，5个位置组成的图像明显不存在。因此只能放在 B 位置。放在 B 位置后，并且母图第二层平面图仅剩一个位置，观察选项及位置关系，只有 D 选项完全吻合。

✂️ 四、平面拼合

1、做题原则：

（1）图形在拼合时，各图形只可以平移，不能旋转、翻转。
（2）平行等长消去法则：平行且等长的两条边进行拼合，拼合之后内部线条抵消（看不见），当然如果没有别的线条与之平行，拼合后一定会保留在轮廓上。

2、做题方法：

（1）优先找唯一方向（没有与之平行等长）的横线、竖线、斜线，此线一定在正确答案的轮廓中出现，如果不出现则可以直接排除。
（2）当题干中的小图形相同或者相似时，直接在选项中切分画出几个图形。

【例：(2016江苏) 唯一方向线】

下边四个图形中，只有一个是由上边的四个图形拼合（只能通过上、下、左、右平移）而成的，请把它找出来。

👉 点击查看解析

题干四幅图中，图4的左边有 1 条竖线，而其他所有的图形均没有竖线。
这说明拼合后的图形的外部轮廓上一定有且仅有 1 条竖线，对应 C 选项。

【例：(2018江苏) 相同图形切分】

下边四个图形中，只有一个是由上边的四个图形拼合（只能通过平移）而成的，请把它找出来。

👉 点击查看解析

题干四幅图的形状均相同，直接在选项中分割画出这四个图形。只是核对时需要注意：有两个三角形的“平顶”在上边，另外两个三角形的“平顶”在下面，不能旋转。
A项、C项没办法分割成题干中的四个梯形/三角形结构。
B项中只能分割成题干中的图1、2、4，图3的三角形平顶向下，而B项分割出的对应三角形平顶向上，方向错误。
只有 D 选项能完美分割成题干中的四个图形且方向一致。

👀 五、三视图

1、定义：三视图指的是立体图形的正视图、俯视图和侧视图。出题人不一定会严格按照标准三视图角度来考查，可能出现右视图（从右向左）和仰视图（从下向上）等，要具体情况具体分析。

2、核心解题思维：

（1）所有的三视图都是平面图。若选项中出现立体图形（有透视感），则一定错误。
（2）原图有线就有线，原图没线就没线。
如图所示，图1和图2都是立体图形从左前方往右后方观察。立体图形上方内部平滑无横线，所以三视图也应无横线，图1正确，图2错误。
（3）看不见被遮挡部分（实线与虚线）。
如图，分两种情况讨论：①若只有图1和图2供选择，应选图1（轮廓正确）；②若有图2和图3供选择，选图3（被遮挡的部分用虚线表示最严谨，若没有用虚线表示，则被遮挡的部分应不画出来）。
图1是圆柱体的俯视图，图2是圆柱体的主视图、左视图以及右视图。
（4）扩展（任一角度看）：“从任一角度看”意味着你要自行寻找投影面，但优先按照正向的三视图去验证。

【例：(2019联考) 正面平视图】

下列哪一项是题干所给图形的正面平视图？

👉 点击查看解析

所给图形的正面平视图：
最左侧一列应有 3 个正方形，且 B 面在最上方，排除 C 项；
中间一列为 A 面和 D 面，排除 B 项；
最右侧一列应该是 空白面在下方，排除 D 项。
故正确答案为 A 选项。

【例：(2021广东) 推导俯视图】

下方分别是一个由长方体堆积而成的立体图形和该立体图形的左视图、后视图，那么该立体图形的俯视图是（）。

👉 点击查看解析

结合已给的“后视图（高低错落）”进行反证：
A项/B项：若选项左上角的小方块从俯视图可见，意味着立体图形的该位置（左后方）存在一个小立方体。那么在“后视图”的最右侧长方形中，必然会因为高低落差而产生一条横线。但题干后视图最右侧是一个通天的一整块矩形，无横线。排除 A、B。
D项：同理，若该处小方块存在，后视图也会多出一条横线。排除 D。
故正确答案为 C 选项。

【例：(2024广东) 任一角度最不可能视图】

下图为给定的立体图形，从任一角度看，下列选项最不可能是该立体图形视图的是（）。

👉 点击查看解析

A选项为标准的正视图，排除。
B、D选项需要按解析图中箭头方向观察，均可完美投影看到。

C项若按解析图中箭头方向观察，上半部分的右侧确实存在曲线，但下半部分应该是纯平直的矩形面，而非曲线图形。C项图形下方画成了曲线，是错误的。

故正确答案为 C 选项。

🔪 六、截面图（空间想象杀手）

1、什么是截面图：用一把无穷大的“刀”将物体切开，被切部分的形状。

2、切的铁律：① 一刀切到底； ② 不能拐弯。

3、注意：截面和剖面不一样。剖面图是对剖开部分的正投影图。

4、基础形体截面图鉴（死记硬背）

🧊 正/长方体

截不出钝角/直角三角形、正五边形、六边形以上。

🛢️ 圆柱

绝不能截出梯形、半圆。

⛺ 圆锥

🛸 圆台

⛰️ 三棱锥

🏔️ 四棱锥

截不出长方形。

🔥 截面秒杀口诀

1、六面体只能截出锐角三角形。
2、斜切过曲面必有曲线。
3、内部挖空（包裹住的）带实线；镂空（暴露的）不能有实线。
4、圆柱、圆锥、圆台横着切均是“圆”，斜着切均是“椭圆”。圆柱从顶向下斜着切两侧是曲线，而不是直线。

【例：(2020国家) 基础判定】

左图为给定的立体图形，将其从任一面剖开，以下哪个不可能是该立体图形的截面?

👉 点击查看解析

题干图形是“缺了一块”的圆柱体，可近似看成圆柱体。应用秒杀口诀：圆柱体无法截出梯形。
A项、C项、D项均能截出（见解析图）。因此无法截出的必定是梯形 B。
故正确答案为 B 选项。

【例：(2019江苏) 挖空与镂空的实线判定】

左图为给定的立体，从任意角度剖开，右边哪一项不可能是它的截面图？

👉 点击查看神仙解析

A 项：外轮廓是矩形，只能从上向下竖着切才能得到。但刀锋在竖切时，必须穿过上方的“U”型缺口（暴露在外的空腔）。对于暴露在外的空腔镂空，截面是绝对不能有实线的！因此切出的截面上方中间部分应没有线，A 项不可能切出。当选。
B 项：是同心圆。这要求横着一刀切。此时刀切过了内部封闭的圆柱孔洞。由于是内部封闭孔洞挖空，切过去会形成实线边界，因此同心圆完全正确，可以切出。
C 项：从最边缘处从上向下竖切（不碰到缺口和圆柱），可以切出完整的矩形。
D 项：从最下方横着拦腰切断，不碰到任何孔洞，可以切出完整的圆形。
故正确答案为 A 选项。

【例：(2024国家) 三点定面法则】

上图为13个白色正方体和5个灰色正方体组合而成的多面体，现用经A、B、C三个顶点的平面对该多面体进行切割，正确的截面是：

👉 点击查看解析

根据平面几何公理：“不共线的三点确定一个唯一的平面”。连接 A、B、C 三点切下去，一刀到底不拐弯，截面如解析图所示：

该截面是一个 3×3 的矩阵平面。
从下往上观察截开的面颜色的分布：
第一行（最底层）：白黑白。
第二行（中间层）：两个黑块。
第三行（最顶层）：三个白块。
完全符合 B 选项的图案。故正确答案为 B。